Условие
Вершины A и B квадрата ABCD лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины C и D — на окружности верхнего основания. Плоскость квадрата не параллельна оси цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 5, высота цилиндра равна 6. а) Докажите, что если C′ — проекция точки C на плоскость нижнего основания, то AC′ — диаметр нижнего основания. б) Найдите площадь квадрата ABCD.
Подсказка
Спроецируйте сторону квадрата, соединяющую основания, на плоскость нижнего основания и примените теорему о трёх перпендикулярах.
Обозначьте сторону квадрата через a и выразите через неё катеты прямоугольного треугольника, вписанного в нижнюю окружность.
Показать ответ
68
Пошаговое решение
- а) Проецируем сторону BC
CC′ — образующая цилиндра, она перпендикулярна плоскости нижнего основания, поэтому BC′ — проекция наклонной BC на эту плоскость. Точка C′ лежит на окружности нижнего основания и отлична от B, так как плоскость квадрата не параллельна оси (иначе BC была бы образующей).
- а) Теорема о трёх перпендикулярах и вписанный угол
AB ⊥ BC (угол квадрата), AB лежит в плоскости основания, BC′ — проекция BC; по обратной теореме о трёх перпендикулярах AB ⊥ BC′. Значит, вписанный угол ABC′ нижней окружности прямой, и он опирается на диаметр: AC′ — диаметр, AC′ = 2·5 = 10.
- б) Составляем уравнение для стороны
Пусть сторона квадрата равна a. В прямоугольном треугольнике BC′C (CC′ ⊥ BC′): BC′² = BC² − CC′² = a² − 36. В прямоугольном треугольнике ABC′ (∠B = 90°): AB² + BC′² = AC′², то есть a² + a² − 36 = 100.
- б) Находим площадь
2a² = 100 + 36 = 136, a² = 68. Площадь квадрата равна a² = 68 (при этом BC′ = √(68 − 36) = 4√2 > 0, конфигурация существует).
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: 68. Типичная ошибка — считать, что сторона BC вертикальна (равна высоте 6) и получить 36: условие прямо исключает этот случай. Другая ошибка — принять за диаметр сторону AB, а не гипотенузу AC′ треугольника ABC′.
Ответ: 68
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что AC′ — диаметр (AB ⊥ BC′ по теореме о трёх перпендикулярах, вписанный прямой угол ABC′ опирается на диаметр); в пункте б составлено уравнение a² + (a² − 36) = 100 из прямоугольных треугольников BC′C и ABC′ и получен ответ 68.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 68 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (AB ⊥ BC′ и AC′ — диаметр) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (AB ⊥ BC′ и AC′ — диаметр), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.