Условие
В прямой треугольной призме ABCA₁B₁C₁ угол BAC прямой, AB=15, AC=20, AA₁=9. H — основание высоты из A на BC. а) Докажите, что A₁H⊥BC. б) Найдите площадь треугольника A₁BC.
Подсказка
AH⊥BC по определению высоты. Так как призма прямая, AA₁⊥ABC. Проекция наклонной A₁H на основание — AH, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах A₁H⊥BC.
BC=√((15)²+(20)²)=25. Из равенства площадей AB·AC/2=BC·AH/2 следует AH=15·20/(25)=12.
Показать ответ
а) A₁H⊥BC; б) 187,5
Пошаговое решение
- Доказываем перпендикулярность
AH⊥BC по определению высоты. Так как призма прямая, AA₁⊥ABC. Проекция наклонной A₁H на основание — AH, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах A₁H⊥BC.
- Находим высоту в основании
BC=√((15)²+(20)²)=25. Из равенства площадей AB·AC/2=BC·AH/2 следует AH=15·20/(25)=12.
- Находим высоту наклонного треугольника
Треугольник AA₁H прямоугольный при A. Поэтому A₁H=√((9)²+(12)²)=15.
- Вычисляем площадь
По доказанному A₁H — высота A₁BC к основанию BC. Значит S=25·15/2=187,5. Высоту призмы AA₁ вместо этой наклонной высоты подставлять нельзя.
Ответ: а) A₁H⊥BC; б) 187,5