Условие
Радиус основания цилиндра равен 13, высота равна 9; O и O₁ — центры нижнего и верхнего оснований. Плоскость, параллельная оси цилиндра и удалённая от неё на расстояние 5, пересекает цилиндр по прямоугольнику ABB₁A₁, где AB — хорда нижнего основания, AA₁ и BB₁ — образующие. Точка H₁ — середина A₁B₁. а) Докажите, что прямая O₁H₁ перпендикулярна плоскости сечения. б) Найдите угол между прямой O₁A и плоскостью сечения.
Подсказка
Какие две пересекающиеся прямые плоскости сечения удобно проверить на перпендикулярность с O₁H₁?
Если перпендикуляр к плоскости уже найден, проекция наклонной O₁A соединяет его основание с точкой A.
Показать ответ
arctg(1/3)
Пошаговое решение
- а) Две перпендикулярные прямые в плоскости сечения
Треугольник O₁A₁B₁ равнобедренный (O₁A₁ = O₁B₁ — радиусы), O₁H₁ — его медиана, значит, и высота: O₁H₁ ⊥ A₁B₁. Образующая AA₁ перпендикулярна плоскости верхнего основания, поэтому AA₁ ⊥ O₁H₁. Прямые A₁B₁ и AA₁ пересекаются и лежат в плоскости сечения, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости O₁H₁ ⊥ (ABB₁).
- б) Находим длину O₁H₁
Из пункта а отрезок O₁H₁ перпендикулярен и плоскости сечения, и оси (он лежит в верхнем основании), поэтому его длина — расстояние между осью и плоскостью сечения: O₁H₁ = 5. В треугольнике O₁H₁A₁: A₁H₁ = √(O₁A₁² − O₁H₁²) = √(169 − 25) = 12.
- б) Строим угол между прямой и плоскостью
O₁H₁ — перпендикуляр к плоскости сечения, значит, H₁A — проекция наклонной O₁A на эту плоскость, а искомый угол — угол O₁AH₁ прямоугольного треугольника O₁H₁A (∠O₁H₁A = 90°).
- б) Вычисляем
В прямоугольном треугольнике AA₁H₁ (AA₁ ⊥ A₁H₁): AH₁ = √(AA₁² + A₁H₁²) = √(81 + 144) = √225 = 15. Тогда tg∠O₁AH₁ = O₁H₁/AH₁ = 5/15 = 1/3, ∠O₁AH₁ = arctg(1/3).
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: arctg(1/3). Проверка: O₁A = √(169 + 81) = √250 = 5√10, sin∠O₁AH₁ = 5/(5√10) = 1/√10, что соответствует tg = 1/3. Типичная ошибка — найти угол прямой O₁A с плоскостью основания (tg = 9/13) или взять в знаменатель A₁H₁ = 12 вместо AH₁ = 15.
Ответ: arctg(1/3)
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что O₁H₁ ⊥ плоскости сечения (O₁H₁ ⊥ A₁B₁ как медиана равнобедренного треугольника O₁A₁B₁, O₁H₁ ⊥ AA₁, признак перпендикулярности прямой и плоскости); в пункте б угол O₁AH₁ обоснован как угол между прямой и плоскостью, найдены O₁H₁ = 5, A₁H₁ = 12, AH₁ = 15 и получен ответ arctg(1/3).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ arctg(1/3) в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (O₁H₁ перпендикулярна плоскости ABB₁) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (O₁H₁ перпендикулярна плоскости ABB₁), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.