ЕГЭ, задание 14: Стереометрическая задача

Какие две пересекающиеся прямые плоскости AB₁C₁ перпендикулярны диагонали грани A₁B?

Синус угла между прямой и плоскостью равен отношению расстояния от точки прямой до плоскости к длине наклонной.

1. а) Признак перпендикулярности прямой и плоскости

   Грань ABB₁A₁ — квадрат, его диагонали перпендикулярны: A₁B ⊥ AB₁. Ребро B₁C₁ перпендикулярно грани ABB₁A₁ (B₁C₁ ⊥ B₁A₁ и B₁C₁ ⊥ B₁B), поэтому B₁C₁ ⊥ A₁B. Прямые AB₁ и B₁C₁ пересекаются и лежат в плоскости AB₁C₁, значит, A₁B ⊥ (AB₁C₁), что и требовалось доказать.

2. б) Точка M лежит в плоскости AB₁C₁

   AD ∥ B₁C₁ (обе параллельны BC), поэтому плоскость AB₁C₁ содержит прямую AD — это плоскость AB₁C₁D. Значит, M лежит в этой плоскости, и прямая BM пересекает её в точке M.

3. б) Находим расстояние от B до плоскости

   Пусть O — центр грани ABB₁A₁, точка пересечения A₁B и AB₁. По пункту а BO ⊥ (AB₁C₁), поэтому O — проекция B на плоскость, OM — проекция BM, и искомый угол равен ∠BMO. BO=½·A₁B=½·4√2=2√2.

4. б) Находим синус угла

   BM — гипотенуза прямоугольного треугольника ABM: BM=√(AB²+AM²)=√(16+4)=2√5. Треугольник BOM прямоугольный (BO ⊥ OM), sin∠BMO=BO:BM=2√2/(2√5)=√2/√5=√10/5.

5. Записываем ответ пункта б

   Угол между прямой BM и плоскостью AB₁C₁ равен arcsin(√10/5) (это же arctg(√6/3)). Типичная ошибка — искать угол между BM и прямой AD или принять за проекцию B точку A: AB не перпендикулярна плоскости AB₁C₁.

Ответ: arcsin(√10/5)

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано A₁B ⊥ AB₁ (диагонали квадрата) и A₁B ⊥ B₁C₁, откуда A₁B ⊥ (AB₁C₁); обосновано, что M лежит в плоскости AB₁C₁D, а O — проекция B, найдены BO=2√2, BM=2√5 и sin∠BMO, получен ответ arcsin(√10/5).

2

Обоснованно получен верный ответ arcsin(√10/5) в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (A₁B ⊥ AB₁, A₁B ⊥ B₁C₁ и признак), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка в BM или BO).

1

Имеется верное доказательство пункта а (A₁B ⊥ AB₁, A₁B ⊥ B₁C₁ и признак), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ arcsin(√10/5) обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.