Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=6, AD=4, AA₁=3. Точки M и N — середины рёбер AB и BC соответственно. Плоскость D₁MN пересекает ребро AA₁ в точке K. а) Докажите, что AK:KA₁=1:2. б) Найдите объём меньшей из частей, на которые плоскость D₁MN делит параллелепипед.
Подсказка
Продолжите отрезок MN до пересечения с прямыми DA и DC.
Часть с вершиной D — это большая треугольная пирамида с вершиной D₁ без двух маленьких угловых пирамид.
Показать ответ
25
Пошаговое решение
- а) Продолжаем след плоскости в основании
Прямая MN лежит и в секущей плоскости, и в плоскости основания. Продолжим её до пересечения с прямыми DA и DC в точках P и Q. Треугольники PAM и NBM равны: AM=MB=3, углы при A и B прямые, углы при M вертикальные. Значит, PA=BN=2 и PD=PA+AD=2+4=6. Так же из равенства треугольников QCN и MBN получаем CQ=BM=3 и DQ=DC+CQ=6+3=9.
- а) Находим точку K
Точки P и D₁ лежат и в секущей плоскости, и в плоскости грани AA₁D₁D, поэтому K — точка пересечения прямых PD₁ и AA₁. AK ∥ DD₁, значит, треугольники PAK и PDD₁ подобны: AK:DD₁=PA:PD=2:6=1:3. Тогда AK=3:3=1, KA₁=3−1=2 и AK:KA₁=1:2, что и требовалось доказать. Аналогично на ребре CC₁ получаем точку L, CL:CC₁=CQ:DQ=3:9, CL=1.
- б) Описываем часть, содержащую вершину D
Сечение — пятиугольник D₁KMNL. Часть параллелепипеда с вершиной D получается из треугольной пирамиды D₁DPQ отбрасыванием двух угловых пирамид KAPM и LCNQ, лежащих вне параллелепипеда. Основание DPQ — прямоугольный треугольник с катетами DP=6 и DQ=9, высота DD₁=3: V(D₁DPQ)=⅓·(½·6·9)·3=27.
- б) Вычитаем угловые пирамиды
У пирамиды KAPM рёбра AP=2, AM=3, AK=1 попарно перпендикулярны, V=⅙·2·3·1=1. У пирамиды LCNQ: CN=2, CQ=3, CL=1, V=1. Объём части с вершиной D: 27−1−1=25. Объём параллелепипеда 6·4·3=72, объём другой части 72−25=47.
- Выбираем меньшую часть
25<47, значит, объём меньшей части равен 25. Типичная ошибка — взять объём пирамиды D₁DPQ (27), забыв, что угловые пирамиды при вершинах A и C выходят за пределы параллелепипеда.
Ответ: 25
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: построены точки P и Q на продолжениях DA и DC (PA=2, CQ=3), из подобия треугольников PAK и PDD₁ доказано AK:KA₁=1:2; объём меньшей части найден как V(D₁DPQ)−V(KAPM)−V(LCNQ)=27−1−1, получен ответ 25.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 25 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (через точку P и подобие PAK и PDD₁), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найдены катеты DP=6 и DQ=9 или объём угловой пирамиды).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (через точку P и подобие PAK и PDD₁), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ 25 обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.