Условие
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания 6, высота SO=4. Плоскость проходит через центр O основания параллельно грани SAB. а) Докажите, что сечение — трапеция. б) Найдите её площадь.
Подсказка
Возьмём A=(−3;−3;0), B=(3;−3;0), C=(3;3;0), D=(−3;3;0), S=(0;0;4). O — начало координат.
Грань SAB лежит в плоскости z=(4/3)(y+3). Параллельная ей плоскость через O имеет уравнение z=4y/3.
Показать ответ
а) трапеция; б) 11,25
Пошаговое решение
- Вводим координаты
Возьмём A=(−3;−3;0), B=(3;−3;0), C=(3;3;0), D=(−3;3;0), S=(0;0;4). O — начало координат.
- Находим секущую плоскость
Грань SAB лежит в плоскости z=(4/3)(y+3). Параллельная ей плоскость через O имеет уравнение z=4y/3.
- Находим вершины сечения
В основании z=0 получаем y=0: концы отрезка (±3;0;0). Рёбра SC и SD пересекаются в серединах, с координатами (±1,5;1,5;2). Рёбра SA и SB не пересекаются: на их концах z−4y/3>0.
- Доказываем вид и находим высоту сечения
Два основания параллельны оси x и имеют длины 6 и 3. Их середины различаются на a/2 по y и h/2 по z, поэтому высота трапеции √(3²+4²)/2=2,5.
- Вычисляем площадь
S=(6+3)/2·2,5=11,25.
Ответ: а) трапеция; б) 11,25