Условие
На окружности нижнего основания цилиндра отмечены точки A и B, на окружности верхнего основания — точки B₁ и C₁, причём BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок AC₁ пересекает ось OO₁ цилиндра. а) Докажите, что угол ABC₁ прямой. б) Найдите угол между прямыми BB₁ и AC₁, если AB = 12, B₁C₁ = 5, BB₁ = 13√3.
Подсказка
Опустите из C₁ образующую на нижнее основание: что можно сказать об отрезке, соединяющем её конец с A?
Угол между скрещивающимися прямыми можно заменить углом между пересекающимися, перенеся одну из них параллельно вдоль образующей.
Показать ответ
30°
Пошаговое решение
- а) Опускаем C₁ на нижнее основание
Пусть CC₁ — образующая, C — точка нижней окружности. Прямые CC₁ и OO₁ параллельны, поэтому они лежат в одной плоскости; отрезок AC₁ пересекает OO₁, значит, точка A тоже лежит в плоскости CC₁O₁O. Эта плоскость проходит через ось и пересекает нижнее основание по прямой, проходящей через центр O. Точки A и C лежат на этой прямой и на окружности, следовательно, AC — диаметр нижнего основания.
- а) Применяем теорему о трёх перпендикулярах
Угол ABC опирается на диаметр AC, поэтому ∠ABC = 90°, то есть AB ⊥ BC. Образующая CC₁ перпендикулярна плоскости основания, значит, BC — проекция наклонной BC₁ на эту плоскость. Прямая AB лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции BC, по теореме о трёх перпендикулярах AB ⊥ BC₁, то есть ∠ABC₁ = 90°.
- б) Заменяем BB₁ параллельной прямой
BB₁ ∥ CC₁ (обе — образующие), поэтому угол между BB₁ и AC₁ равен углу между CC₁ и AC₁, то есть углу AC₁C прямоугольного треугольника ACC₁ (∠ACC₁ = 90°, так как CC₁ ⊥ AC). Четырёхугольник BCC₁B₁ — прямоугольник, поэтому BC = B₁C₁ = 5 и CC₁ = BB₁ = 13√3.
- б) Находим диаметр и угол
В прямоугольном треугольнике ABC: AC = √(AB² + BC²) = √(144 + 25) = 13. В треугольнике ACC₁: tg∠AC₁C = AC/CC₁ = 13/(13√3) = 1/√3, значит, ∠AC₁C = 30°.
- Записываем ответ и проверяем
Искомый угол равен 30°. Типичная ошибка — взять отношение CC₁/AC = √3 (тангенс угла при вершине A, то есть угла между AC₁ и основанием) и получить 60°: угол между AC₁ и образующей дополняет его до 90°.
Ответ: 30°
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что ∠ABC₁ = 90° (AC — диаметр, так как AC₁ пересекает ось; ∠ABC = 90° как вписанный, опирающийся на диаметр; теорема о трёх перпендикулярах); в пункте б угол между BB₁ и AC₁ заменён углом AC₁C, найдены BC = 5, AC = 13 и tg∠AC₁C = 1/√3 и получен ответ 30°.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 30° в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (∠ABC₁ = 90° через диаметр AC и теорему о трёх перпендикулярах) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (∠ABC₁ = 90° через диаметр AC и теорему о трёх перпендикулярах), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.