Условие
Основание прямой призмы ABCA₁B₁C₁ — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катеты AC=6 и BC=10; боковое ребро призмы равно 8. Точка M — середина ребра B₁C₁. а) Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости ACC₁. б) Найдите угол между прямой AM и плоскостью ACC₁.
Подсказка
Какой отрезок, выходящий из M, параллелен BC и, значит, перпендикулярен плоскости ACC₁?
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Показать ответ
arctg(1/2)
Пошаговое решение
- а) Признак перпендикулярности прямой и плоскости
BC ⊥ AC по условию. Призма прямая, поэтому CC₁ ⊥ (ABC) и CC₁ ⊥ BC. Прямые AC и CC₁ пересекаются и лежат в плоскости ACC₁, значит, BC ⊥ (ACC₁), что и требовалось доказать.
- б) Находим проекцию точки M на плоскость ACC₁
Отрезок MC₁ лежит на прямой B₁C₁, параллельной BC. Прямая, параллельная перпендикуляру к плоскости, сама перпендикулярна этой плоскости, поэтому по пункту а MC₁ ⊥ (ACC₁). Значит, C₁ — проекция M, AC₁ — проекция наклонной AM, и искомый угол равен ∠MAC₁.
- Находим катеты треугольника AC₁M
MC₁=B₁C₁:2=10:2=5. Из прямоугольного треугольника ACC₁: AC₁=√(6²+8²)=√100=10. Угол AC₁M прямой, так как MC₁ ⊥ (ACC₁) и, значит, MC₁ ⊥ AC₁.
- Находим угол
tg∠MAC₁=MC₁:AC₁=5:10=1/2, откуда ∠MAC₁=arctg(1/2).
- Записываем ответ пункта б
Угол между прямой AM и плоскостью ACC₁ равен arctg(1/2). Типичная ошибка — считать проекцией AM отрезок AC в основании или записать sin∠MAC₁=5:10, приняв катет AC₁ за гипотенузу (на самом деле AM=√125=5√5).
Ответ: arctg(1/2)
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано BC ⊥ (ACC₁) (BC ⊥ AC и BC ⊥ CC₁); обосновано, что C₁ — проекция M (MC₁ ∥ BC), найдены MC₁=5, AC₁=10 и tg∠MAC₁, получен ответ arctg(1/2).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ arctg(1/2) в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (BC ⊥ AC, BC ⊥ CC₁ и признак), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найдено AC₁ или MC₁).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (BC ⊥ AC, BC ⊥ CC₁ и признак), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ arctg(1/2) обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.