Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 4 точки P, Q и R — середины рёбер AB, BC и CC₁ соответственно. а) Докажите, что сечение куба плоскостью PQR — правильный шестиугольник. б) Найдите площадь этого сечения.
Подсказка
Через какие ещё середины рёбер проходит плоскость PQR? Проверьте это, например, в координатах.
Сравните стороны сечения с расстоянием от центра куба до вершин сечения.
Показать ответ
12√3
Пошаговое решение
- Вводим координаты
Начало координат — в точке A, оси направим по AB, AD и AA₁. Тогда B(4; 0; 0), C(4; 4; 0), D(0; 4; 0), A₁(0; 0; 4), C₁(4; 4; 4), D₁(0; 4; 4), а середины рёбер P(2; 0; 0), Q(4; 2; 0), R(4; 4; 2).
- а) Находим плоскость PQR и все вершины сечения
Плоскость PQR задаётся уравнением x−y+z=2: проверка 2−0+0=2, 4−2+0=2, 4−4+2=2. Этому уравнению удовлетворяют и середины S(2; 4; 4) ребра C₁D₁, T(0; 2; 4) ребра A₁D₁, U(0; 0; 2) ребра AA₁: 2−4+4=2, 0−2+4=2, 0−0+2=2. Отрезки PQ, QR, RS, ST, TU, UP лежат соответственно в нижней, правой, задней, верхней, левой и передней гранях, поэтому сечение — шестиугольник PQRSTU.
- а) Доказываем, что шестиугольник правильный
Каждая сторона — средняя линия прямоугольного равнобедренного треугольника в грани: например, PQ=½·AC=½·4√2=2√2; так же QR=RS=ST=TU=UP=2√2. Центр куба O(2; 2; 2) лежит в плоскости (2−2+2=2) и является серединой отрезков PS, QT, RU; расстояние от O до каждой вершины, например OP=√(0²+2²+2²)=2√2, тоже равно стороне. Значит, шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников OPQ, OQR, …, OUP, все его углы равны 60°+60°=120°, и он правильный.
- б) Вычисляем площадь
Площадь правильного шестиугольника со стороной s равна 6·(√3/4)·s². При s=2√2 имеем s²=8, S=6·(√3/4)·8=12√3.
- Записываем ответ пункта б
Площадь сечения равна 12√3. Типичная ошибка — считать сечением треугольник PQR (его площадь всего 2√3, в шесть раз меньше) или принять за сторону шестиугольника половину ребра куба.
Ответ: 12√3
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: показано, что плоскость PQR проходит через середины рёбер C₁D₁, A₁D₁ и AA₁, доказано, что все стороны шестиугольника равны 2√2 и все углы равны 120° (например, через центр куба); площадь найдена как площадь правильного шестиугольника со стороной 2√2, получен ответ 12√3.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 12√3 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (сечение — шестиугольник с равными сторонами и углами 120°), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, s²=8 подставлено с ошибкой или потерян множитель 6).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (сечение — шестиугольник с равными сторонами и углами 120°), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ 12√3 обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.