ЕГЭ, задание 14: Стереометрическая задача

Какой отрезок правильного треугольника одновременно медиана и высота? Чему перпендикулярно боковое ребро прямой призмы?

Прямая CM перпендикулярна плоскости, в которой лежит AB₁. Опустите в этой плоскости перпендикуляр из точки M на AB₁.

1. а) Находим в плоскости ABB₁ две прямые, перпендикулярные CM

   Треугольник ABC правильный, поэтому его медиана CM является и высотой: CM ⊥ AB. Правильная призма прямая, значит, боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания и любой прямой в ней, в том числе CM: CM ⊥ AA₁. Прямые AB и AA₁ пересекаются и лежат в плоскости ABB₁, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости CM ⊥ (ABB₁), что и требовалось доказать.

2. б) Строим общий перпендикуляр прямых CM и AB₁

   Прямая AB₁ лежит в плоскости ABB₁A₁, а прямая CM пересекает эту плоскость в точке M и по пункту а перпендикулярна ей. Опустим в плоскости грани перпендикуляр MH на прямую AB₁. Так как CM перпендикулярна плоскости, CM ⊥ MH. Значит, MH перпендикулярен обеим прямым и имеет на них концы — это общий перпендикуляр, и искомое расстояние равно MH.

3. Находим диагональ боковой грани

   Грань ABB₁A₁ — прямоугольник со сторонами AB=6 и BB₁=8. По теореме Пифагора AB₁=√(6²+8²)=√100=10, поэтому sin∠B₁AB=BB₁:AB₁=8/10=4/5.

4. Находим MH из прямоугольного треугольника AMH

   AM=AB:2=3. В треугольнике AMH угол H прямой, а угол A равен углу B₁AB, поэтому MH=AM·sin∠B₁AB=3·(4/5)=12/5. Проверка через площади: S(AMB₁)=½·AM·BB₁=½·3·8=12 и S(AMB₁)=½·AB₁·MH, откуда MH=24:10=12/5.

5. Записываем ответ пункта б

   Расстояние между прямыми CM и AB₁ равно 12/5. Типичная ошибка — принять за расстояние высоту CM основания (она равна 3√3) или расстояние от точки B до прямой AB₁: общий перпендикуляр должен опираться на обе прямые, а CM встречает плоскость грани только в точке M.

Ответ: 12/5

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что CM ⊥ AB как высота правильного треугольника и CM ⊥ AA₁, откуда CM ⊥ (ABB₁); обосновано, что перпендикуляр MH из M на AB₁ — общий перпендикуляр прямых CM и AB₁, MH найден из треугольника AMH (AB₁=10, sin∠B₁AB=4/5), получен ответ 12/5.

2

Обоснованно получен верный ответ 12/5 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (CM ⊥ AB и CM ⊥ AA₁ со ссылкой на признак перпендикулярности), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка при извлечении корня √100 или в произведении 3·(4/5)).

1

Имеется верное доказательство пункта а (CM ⊥ AB и CM ⊥ AA₁ со ссылкой на признак перпендикулярности), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ 12/5 обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.