ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Перенесите правую дробь влево и приведите к общему знаменателю.

Посмотрите, что происходит со старшими степенями в числителе.

1. Переносим всё в одну часть

   Ограничения: x ≠ 1, x ≠ −2. Знаки знаменателей неизвестны, поэтому «крест-накрест» умножать нельзя. Переносим: (x + 3)/(x − 1) − (x − 2)/(x + 2) ≤ 0.

2. Приводим к общему знаменателю

   Числитель: (x + 3)(x + 2) − (x − 2)(x − 1) = (x² + 5x + 6) − (x² − 3x + 2) = 8x + 4. Получаем (8x + 4)/((x − 1)(x + 2)) ≤ 0, то есть 4(2x + 1)/((x − 1)(x + 2)) ≤ 0.

3. Метод интервалов

   Точки: −2 (выколота), −0,5 (закрашена), 1 (выколота). При x = 2: 20/(1·4) > 0, на (1; +∞) «+»; на (−0,5; 1) «−»; на (−2; −0,5) «+»; на (−∞; −2) «−». Контроль x = 0: 4/(−1·2) = −2 < 0 — верно.

4. Проверяем исходное неравенство в контрольных точках

   x = 0: левая часть 3/(−1) = −3, правая (−2)/2 = −1, −3 ≤ −1 — верно. x = −3: 0/(−4) = 0 и (−5)/(−1) = 5, 0 ≤ 5 — верно. x = −1: 2/(−2) = −1 и (−3)/1 = −3, −1 ≤ −3 — неверно.

5. Записываем ответ

   (−∞; −2) ∪ [−0,5; 1). Типичная ошибка — умножить крест-накрест и получить 8x + 4 ≤ 0, то есть x ≤ −0,5: такой ответ неверен, например, при x = −1 и при x = 0.

Ответ: (−∞; −2) ∪ [−0,5; 1)

2

Обоснованно получен верный ответ: обе дроби перенесены в одну часть, найден числитель 8x + 4, методом интервалов с точками −2, −0,5, 1 получен ответ с выколотыми −2 и 1.

1

Решение доведено до конца с верной последовательностью шагов, но ответ отличается включением выколотых точек −2 или 1 (или исключением −0,5), либо допущена одна вычислительная ошибка при раскрытии скобок в числителе.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.