ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Сгруппируйте слагаемые: что получится, если возвести x + 1/x в квадрат?

Решая x + 1/x ≤ 2, приведите к общему знаменателю — в числителе окажется полный квадрат.

1. Записываем ОДЗ и группируем

   x ≠ 0. Группируем слагаемые: 2(x² + 1/x²) + (x + 1/x) ≤ 6.

2. Вводим замену t = x + 1/x

   t² = x² + 2 + 1/x², поэтому x² + 1/x² = t² − 2. Неравенство: 2(t² − 2) + t ≤ 6, то есть 2t² + t − 10 ≤ 0, (2t + 5)(t − 2) ≤ 0, −5/2 ≤ t ≤ 2.

3. Решаем x + 1/x ≤ 2

   (x² − 2x + 1)/x ≤ 0, то есть (x − 1)²/x ≤ 0. При x < 0 дробь отрицательна — подходит; при x > 0 она неотрицательна и равна нулю только при x = 1. Решение: x < 0 или x = 1.

4. Решаем x + 1/x ≥ −5/2

   (2x² + 5x + 2)/(2x) ≥ 0, то есть (2x + 1)(x + 2)/x ≥ 0. Точки −2 и −1/2 закрашены, 0 выколота; при x > 0 «+», на (−1/2; 0) «−», на (−2; −1/2) «+», при x < −2 «−». Решение: −2 ≤ x ≤ −1/2 или x > 0.

5. Пересекаем и проверяем

   Оба условия вместе: −2 ≤ x ≤ −0,5 и отдельная точка x = 1. Проверка: x = 1: 2 + 1 + 1 + 2 = 6 ≤ 6 — верно; x = −2: 8 − 2 − 0,5 + 0,5 = 6 — верно; x = 2: 8 + 2 + 0,5 + 0,5 = 11 — неверно. Ответ: [−2; −0,5] и x = 1. Типичная ошибка — решить x + 1/x ≤ 2 как «x < 0» и потерять x = 1.

Ответ: [−2; −0,5] и x = 1

2

Обоснованно получен ответ [−2; −0,5] и x = 1: выполнена замена t = x + 1/x с x² + 1/x² = t² − 2, решено 2t² + t − 10 ≤ 0, неравенства x + 1/x ≤ 2 и x + 1/x ≥ −5/2 решены методом интервалов с учётом x ≠ 0 и найдена изолированная точка x = 1.

1

Последовательность шагов верна, но ответ отличается от верного только граничными точками (например, потеряна точка x = 1 или исключены −2 и −0,5), либо получен неверный ответ из-за одной вычислительной ошибки при решении квадратного неравенства относительно t.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.