Условие
Решите неравенство √(x + 1)·(x² − 4) ≥ 0.
Подсказка
Найдите ОДЗ и отдельно разберите точку, где корень обращается в ноль.
Где корень положителен, знак произведения определяется другим множителем.
Показать ответ
[2; +∞) и x = −1
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Корень определён при x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ −1.
- Рассматриваем точку, где корень равен нулю
При x = −1 корень равен 0, и левая часть равна 0·((−1)² − 4) = 0. Неравенство 0 ≥ 0 верно, поэтому x = −1 — решение, хотя множитель x² − 4 = −3 в этой точке отрицателен.
- Рассматриваем остальную часть ОДЗ
При x > −1 корень положителен, и на него можно разделить без смены знака: x² − 4 ≥ 0, (x − 2)(x + 2) ≥ 0, x ≤ −2 или x ≥ 2. С условием x > −1 остаётся только x ≥ 2: луч x ≤ −2 лежит вне ОДЗ.
- Объединяем
Решения: луч [2; +∞) и отдельная точка x = −1. Проверка: x = 0: (−4)·1 = −4 ≥ 0 — неверно; x = 2: 0·√3 = 0 ≥ 0 — верно; x = −3 — корень не существует.
- Записываем ответ и отмечаем ошибки
[2; +∞) и x = −1. Типичные ошибки: потерять x = −1, «сократив» на корень, или оставить в ответе промежуток (−∞; −2], где √(x + 1) не определён.
Ответ: [2; +∞) и x = −1
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен верный ответ: найдена ОДЗ x ≥ −1, отдельно проверена точка x = −1 (произведение равно нулю), при x > −1 решено x² − 4 ≥ 0 и отброшен луч x ≤ −2, не входящий в ОДЗ.
- 1
- Решение доведено до конца с верной последовательностью шагов, но ответ отличается от верного только потерей изолированной точки x = −1 или включением/исключением точки 2, либо допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.