ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Перейдите в обоих логарифмах к основанию 3: чему равны log₃(3x) и log₃(9x)?

После замены t = log₃ x получится дробно-рациональное неравенство — решайте его методом интервалов.

1. Записываем ОДЗ

   Основания положительны и не равны 1: x > 0, 3x ≠ 1, 9x ≠ 1. ОДЗ: x > 0, x ≠ 1/3, x ≠ 1/9.

2. Переходим к основанию 3

   log_(3x) 3 = 1/log₃(3x) = 1/(1 + log₃ x); log_(9x) 9 = log₃ 9/log₃(9x) = 2/(2 + log₃ x). Пусть t = log₃ x; на ОДЗ t ≠ −1 и t ≠ −2. Неравенство: 1/(1 + t) ≥ 2/(2 + t).

3. Переносим всё в одну часть

   Знаки знаменателей неизвестны, умножать на них нельзя. 1/(1 + t) − 2/(2 + t) = (2 + t − 2 − 2t)/((1 + t)(2 + t)) = −t/((t + 1)(t + 2)) ≥ 0, то есть t/((t + 1)(t + 2)) ≤ 0.

4. Решаем методом интервалов

   Точки −2, −1 (выколоты) и 0 (закрашена). При t > 0 «+», на (−1; 0) «−», на (−2; −1) «+», при t < −2 «−». Решение: t < −2 или −1 < t ≤ 0.

5. Возвращаемся к x и проверяем

   Основание 3 > 1: log₃ x < −2 ⇔ 0 < x < 1/9; −1 < log₃ x ≤ 0 ⇔ 1/3 < x ≤ 1. Проверка x = 1: log₃ 3 = 1 и log₉ 9 = 1 — равенство; x = 1/27: −1/2 ≥ −2 — верно; x = 1/5: левая часть отрицательна, правая положительна — неверно. Типичная ошибка — умножить «крест-накрест», не учитывая знаки знаменателей: получится t ≤ 0, и в ответ попадёт лишний промежуток (1/9; 1/3).

Ответ: (0; 1/9) ∪ (1/3; 1]

2

Обоснованно получен ответ (0; 1/9) ∪ (1/3; 1]: записана ОДЗ (x > 0, x ≠ 1/3, x ≠ 1/9), оба логарифма переведены к основанию 3, неравенство 1/(1 + t) ≥ 2/(2 + t) решено методом интервалов с учётом t ≠ −1, t ≠ −2 и выполнен возврат к x.

1

Последовательность шагов верна, но ответ отличается от верного только граничными точками (например, включены 1/9 и 1/3 или исключена точка 1), либо получен неверный ответ из-за одной вычислительной ошибки при упрощении числителя при верной последовательности шагов.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.