Условие
Решите неравенство (log_2(x+3))(log_2(x+3)−2)≤0.
Подсказка
На ОДЗ x>-3 положите t=log_2(x+3).
Из произведения получите 0≤t≤2; основание 2>1 сохраняет порядок.
Показать ответ
[-2; 1]
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
На ОДЗ x>-3 положите t=log_2(x+3). Из произведения получите 0≤t≤2; основание 2>1 сохраняет порядок.
- Учитываем ограничения
ОДЗ исходного логарифма: x+3>0, то есть x>-3. Положим t=log_2(x+3).
- Получаем следующий результат
Получаем квадратное неравенство (t)(t−2)≤0. Его ветви направлены вверх, поэтому между корнями 0≤t≤2; обе границы включаются.
- Учитываем ограничения
Поскольку основание 2>1, логарифмическая функция возрастает и порядок сохраняется: 2^0≤x+3≤2^2, то есть 1≤x+3≤4. После перехода к x получаем -2≤x≤1; этот отрезок целиком лежит в ОДЗ.
Ответ: [-2; 1]