Условие
Решите неравенство √(x+3)≥|x+1|.
Подсказка
На ОДЗ x≥-3 положите t=√(x+3)≥0; тогда модуль справа равен |t²−2|.
Неравенство |t²−2|≤t равносильно системе −t≤t²−2≤t. Решите обе её части и пересеките результаты.
Показать ответ
[-2; 1]
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
На ОДЗ x≥-3 положите t=√(x+3)≥0; тогда модуль справа равен |t²−2|. Неравенство |t²−2|≤t равносильно системе −t≤t²−2≤t. Решите обе её части и пересеките результаты.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x≥-3.
- Вводим обозначения
Пусть t=√(x+3)≥0, тогда x+3=t².
- Получаем следующий результат
Получаем |t²−2|≤t, то есть систему t²−2≥−t и t²−2≤t.
- Выполняем преобразование
Первое неравенство (t+2)(t−1)≥0 при t≥0 даёт t≥1.
- Выполняем преобразование
Второе (t−2)(t+1)≤0 при t≥0 даёт t≤2.
- Получаем следующий результат
Следовательно, 1≤t≤2, поэтому 1≤x+3≤4 и -2≤x≤1.
Ответ: [-2; 1]