Условие
Решите неравенство 2^x + 1 ≤ 3x.
Подсказка
Попробуйте подставить небольшие целые x в 2^x и 3x − 1.
Сколько общих точек может иметь график выпуклой функции с прямой?
Показать ответ
[1; 3]
Пошаговое решение
- Рассматриваем функцию
Перенесём всё влево: f(x)=2^x − 3x + 1 ≤ 0. Нужно понять, где f(x) ≤ 0.
- Подбираем нули
f(1)=2 − 3 + 1=0, f(3)=8 − 9 + 1=0. Значит, x=1 и x=3 — корни уравнения f(x)=0.
- Доказываем, что других корней нет
f′(x)=2^x·ln2 − 3 строго возрастает, поэтому f′ обращается в ноль не более одного раза: f сначала убывает, затем возрастает. Такая функция имеет не более двух нулей. Наглядно: график y=2^x выпуклый вниз и пересекает прямую y=3x − 1 не более чем в двух точках.
- Определяем знак между корнями
Между 1 и 3: f(2)=4 − 6 + 1=−1<0. Вне отрезка: f(0)=1>0, f(4)=16 − 12 + 1=5>0. Значит, f(x) ≤ 0 ровно при 1 ≤ x ≤ 3.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Решение — отрезок [1; 3]. Ошибка — найти подбором только x=1 и записать x ≥ 1 или не доказать, что корней ровно два; без обоснования единственности ответ не засчитывается полностью.
Ответ: [1; 3]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [1; 3]: найдены корни x=1 и x=3, доказано (через производную или выпуклость 2^x), что других корней нет, и верно определён знак между корнями.
- 1
- Корни 1 и 3 найдены и обосновано, что других корней нет, но ответ отличается от верного только граничными точками ((1; 3) вместо [1; 3]), либо допущена одна вычислительная ошибка в значениях f при верной последовательности шагов.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.