ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Как знак разности двух логарифмов с общим основанием a связан со знаком (a − 1)?

Не забудьте, что основание не может быть равно 1 — это исключает одну точку.

1. Записываем ОДЗ

   Основание: x − 1 > 0 и x − 1 ≠ 1, то есть x > 1, x ≠ 2. Аргументы: x + 1 > 0 и 7 − x > 0, то есть x < 7. ОДЗ: 1 < x < 2 или 2 < x < 7.

2. Применяем метод рационализации

   На ОДЗ разность log_a f − log_a g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g): при a > 1 логарифм возрастает и знаки совпадают с f − g, при 0 < a < 1 убывает, и множитель a − 1 < 0 меняет знак. Здесь a = x − 1, f = x + 1, g = 7 − x: (x − 2)(x + 1 − 7 + x) ≥ 0, то есть (x − 2)(2x − 6) ≥ 0.

3. Решаем рациональное неравенство

   2(x − 2)(x − 3) ≥ 0, отсюда x ≤ 2 или x ≥ 3.

4. Пересекаем с ОДЗ

   С учётом 1 < x < 7 и x ≠ 2: 1 < x < 2 или 3 ≤ x < 7. Точка x = 2 исключена — там основание равно 1.

5. Проверяем

   x = 3: log₂ 4 = log₂ 4 — равенство, точка входит. x = 1,5: основание 0,5 < 1, аргументы 2,5 < 5,5, поэтому log₀,₅ 2,5 > log₀,₅ 5,5 — верно. Типичная ошибка — сравнить аргументы как при основании больше 1 (x + 1 ≥ 7 − x) и потерять промежуток (1; 2).

Ответ: (1; 2) ∪ [3; 7)

2

Обоснованно получен ответ (1; 2) ∪ [3; 7): записана полная ОДЗ (x > 1, x ≠ 2, x < 7), обоснованно применён метод рационализации или разбор случаев основания, решено (x − 2)(x − 3) ≥ 0.

1

Решение доведено до конца, но ответ отличается только граничной точкой (например, не исключено x = 2 или не включено x = 3), либо допущена одна вычислительная ошибка при верном методе.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.