Условие
Решите неравенство (x² − 4)·(3^x − 1) ≤ 0.
Подсказка
Когда 3^x − 1 положительно, а когда отрицательно?
Замените показательный множитель линейным с тем же знаком.
Показать ответ
(−∞; −2] ∪ [0; 2]
Пошаговое решение
- Определяем знак показательного множителя
3^x − 1=3^x − 3^0. Функция 3^x возрастает, поэтому 3^x − 1>0 при x>0, =0 при x=0 и <0 при x<0. Знак 3^x − 1 совпадает со знаком x.
- Переходим к рациональному неравенству
Заменяем множитель 3^x − 1 на x (знаки и нули совпадают): (x − 2)(x + 2)·x ≤ 0.
- Метод интервалов
Нули: −2, 0, 2. Справа от 2 (x=3): 1·5·3>0, плюс; далее знаки чередуются (все корни простые): (0; 2) — минус, (−2; 0) — плюс, (−∞; −2) — минус.
- Выбираем промежутки
Нужны «−» и нули (неравенство нестрогое): x ≤ −2 или 0 ≤ x ≤ 2.
- Проверяем и записываем ответ
Проверка x=1: (1 − 4)(3 − 1)=−6 ≤ 0 — верно; x=−1: (−3)(1/3 − 1)=2>0 — не решение. Типичная ошибка — разделить на 3^x − 1 «как на положительное» и потерять промежуток (−∞; −2] или нуль x=0.
Ответ: (−∞; −2] ∪ [0; 2]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−∞; −2] ∪ [0; 2]: доказано, что знак 3^x − 1 совпадает со знаком x, верно применён метод интервалов, включены нули −2, 0 и 2.
- 1
- Ход решения верный (знак 3^x − 1 обоснованно заменён знаком x, метод интервалов), но ответ отличается от верного только граничными точками −2, 0, 2 (например, они исключены), либо допущена одна вычислительная ошибка (например, в нулях множителя x² − 4).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.