Условие
Решите неравенство 4^(|x − 1|) ≤ 2^(x + 5).
Подсказка
Запишите 4^(|x − 1|) как степень двойки.
Как раскрыть неравенство вида |A| ≤ B без разбора случаев?
Показать ответ
[−1; 7]
Пошаговое решение
- Приводим к основанию 2
4^(|x − 1|)=2^(2|x − 1|). Неравенство: 2^(2|x − 1|) ≤ 2^(x + 5).
- Сравниваем показатели
Основание 2>1, функция возрастает: 2|x − 1| ≤ x + 5.
- Раскрываем модуль двойным неравенством
Неравенство |A| ≤ B равносильно −B ≤ A ≤ B: −(x + 5) ≤ 2x − 2 ≤ x + 5. Левая часть: −x − 5 ≤ 2x − 2, то есть −3 ≤ 3x, x ≥ −1. Правая часть: 2x − 2 ≤ x + 5, x ≤ 7.
- Объединяем условия
Получаем −1 ≤ x ≤ 7. Условие x + 5 ≥ 0 выполнено автоматически (x ≥ −1).
- Проверяем и записываем ответ
x=−1: 4^2=16 и 2^4=16 — равенство, входит. x=7: 4^6=2^12 и 2^12 — равенство, входит. Типичная ошибка — «забыть» про двойку: сравнивать |x − 1| ≤ x + 5, получая x ≥ −2.
Ответ: [−1; 7]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [−1; 7]: выполнен переход к основанию 2 с множителем 2 в показателе, использовано возрастание 2^t и верно решено неравенство 2|x − 1| ≤ x + 5.
- 1
- Ход решения верный (общее основание, сравнение показателей, раскрытие модуля), но допущена одна вычислительная ошибка в одной из границ −1 или 7, либо границы не включены.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.