Условие
Решите неравенство (2^x + 3^x − 5)/(4 − x²) ≥ 0.
Подсказка
При каком целом x сумма 2^x + 3^x равна 5?
Возрастает или убывает функция 2^x + 3^x? Что это говорит о знаке числителя?
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ [1; 2)
Пошаговое решение
- Находим ОДЗ
Знаменатель не равен нулю: 4 − x² ≠ 0, то есть x ≠ −2 и x ≠ 2. Удобно умножить дробь на −1, сменив знак неравенства: (2^x + 3^x − 5)/(x² − 4) ≤ 0.
- Исследуем числитель
g(x)=2^x + 3^x − 5 — сумма двух возрастающих функций (основания 2 и 3 больше 1), поэтому g строго возрастает. g(1)=2 + 3 − 5=0, значит x=1 — единственный нуль, g(x)<0 при x<1 и g(x)>0 при x>1.
- Заменяем числитель линейным множителем
Знак g(x) совпадает со знаком x − 1, нули тоже совпадают. Неравенство равносильно (x − 1)/((x − 2)(x + 2)) ≤ 0 при x ≠ ±2.
- Метод интервалов
Точки −2, 1, 2. При x>2 дробь положительна; на (1; 2) — отрицательна; на (−2; 1) — положительна; при x<−2 — отрицательна. Нуль x=1 включаем, точки ±2 выкалываем: x<−2 или 1 ≤ x<2.
- Проверяем и записываем ответ
В исходной записи: x=−3: (1/8 + 1/27 − 5)/(−5)>0 — решение; x=0: (1 + 1 − 5)/4<0 — не решение; x=1,5: числитель 2√2 + 3√3 − 5>0, знаменатель 1,75>0 — решение. Типичная ошибка — считать, что числитель положителен (как сумма степеней), или забыть сменить знак при переходе к x² − 4.
Ответ: (−∞; −2) ∪ [1; 2)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−∞; −2) ∪ [1; 2): доказано, что числитель возрастает и обращается в нуль только при x=1, учтено ОДЗ x ≠ ±2, верно применён метод интервалов.
- 1
- Монотонность числителя обоснована и метод интервалов применён, но ответ отличается от верного только граничными точками (точки ±2 включены или x=1 исключён), либо допущена одна вычислительная ошибка (например, в значении числителя при x=1) при верной последовательности шагов.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.