Условие
Решите неравенство 3^x + 4^x ≥ 5^x.
Подсказка
На какое положительное выражение удобно разделить, чтобы справа осталась 1?
Какая известная тройка чисел подсказывает корень?
Показать ответ
(−∞; 2]
Пошаговое решение
- Делим на 5^x
5^x>0, знак неравенства сохраняется: (3/5)^x + (4/5)^x ≥ 1.
- Исследуем монотонность
Основания 3/5 и 4/5 меньше 1, поэтому обе функции (3/5)^x и (4/5)^x строго убывают. Их сумма g(x)=(3/5)^x + (4/5)^x тоже строго убывает.
- Подбираем корень
g(2)=9/25 + 16/25=25/25=1 (это тройка 3² + 4²=5²). Строго убывающая функция принимает значение 1 только при x=2.
- Решаем неравенство
g(x) ≥ g(2) для убывающей функции равносильно x ≤ 2. Проверка: x=0 даёт 1 + 1=2 ≥ 1; x=3 даёт 27 + 64=91<125 — не решение.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Решение — луч (−∞; 2]. Ошибка — найти корень x=2 и написать x ≥ 2, не учтя, что g убывает, либо не обосновать единственность корня ссылкой на монотонность.
Ответ: (−∞; 2]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−∞; 2]: выполнено деление на 5^x, доказано строгое убывание суммы (3/5)^x + (4/5)^x, найден корень x=2 и верно выбрано направление x ≤ 2.
- 1
- Деление на 5^x, убывание суммы и корень x=2 обоснованы, но ответ отличается от верного только граничной точкой ((−∞; 2) вместо (−∞; 2]), либо допущена одна вычислительная ошибка (например, при вычислении g(2)) при верной последовательности шагов.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.