ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Чему равно произведение (√5 + 2)(√5 − 2)?

После перехода к одному основанию вынесите x − 1 за скобки.

1. Связываем основания

   (√5 + 2)(√5 − 2)=5 − 4=1, поэтому √5 − 2=(√5 + 2)^(−1). ОДЗ: x ≠ −1 (знаменатель показателя).

2. Приводим к одному основанию

   Правая часть равна (√5 + 2)^(−(x − 1)/(x + 1)). Основание √5 + 2>1, функция возрастает: x − 1 ≥ −(x − 1)/(x + 1).

3. Переносим и выносим общий множитель

   (x − 1) + (x − 1)/(x + 1) ≥ 0, (x − 1)·(1 + 1/(x + 1)) ≥ 0, (x − 1)(x + 2)/(x + 1) ≥ 0.

4. Метод интервалов

   Нули числителя −2 и 1 (включаем), нуль знаменателя −1 (выкалываем). При x>1 знак «+», на (−1; 1) «−», на (−2; −1) «+», при x<−2 «−». Решение: −2 ≤ x<−1 или x ≥ 1.

5. Проверяем и записываем ответ

   x=1: обе части равны 1 — верно. x=−2: слева (√5 + 2)^(−3), справа (√5 − 2)^3=(√5 + 2)^(−3) — равенство, верно. Типичная ошибка — умножить на x + 1 без учёта знака или забыть исключить x=−1.

Ответ: [−2; −1) ∪ [1; +∞)

2

Обоснованно получен ответ [−2; −1) ∪ [1; +∞): показано, что √5 − 2=(√5 + 2)^(−1), учтено ОДЗ x ≠ −1, использовано возрастание при основании √5 + 2>1, верно применён метод интервалов.

1

Ход решения верный, но точка x=−1 включена или точки −2, 1 исключены из ответа, либо допущена одна вычислительная ошибка при приведении к общему знаменателю.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.