ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Как связаны log₄ x и log_x 4?

После замены нельзя умножать на переменную неизвестного знака — используйте метод интервалов.

1. Записываем ОДЗ

   x — аргумент первого логарифма и основание второго: x > 0 и x ≠ 1.

2. Переходим к одному логарифму

   По формуле перехода log_x 4 = 1/log₄ x (при x ≠ 1 знаменатель не ноль). Пусть t = log₄ x, t ≠ 0: t + 1/t ≥ 5/2.

3. Решаем методом интервалов

   Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю 2t: (2t² − 5t + 2)/(2t) ≥ 0, то есть (2t − 1)(t − 2)/t ≥ 0. Точки: 0 (выколота), 1/2, 2. Знаки: при t < 0 минус, при 0 < t < 1/2 плюс, при 1/2 < t < 2 минус, при t > 2 плюс. Решение: 0 < t ≤ 1/2 или t ≥ 2.

4. Возвращаемся к x

   0 < log₄ x ≤ 1/2: основание 4 > 1, значит 1 < x ≤ 4^(1/2) = 2. log₄ x ≥ 2: x ≥ 16.

5. Записываем ответ и проверяем

   Ответ: (1; 2] ∪ [16; +∞). Проверка x = 2: 1/2 + 2 = 5/2 — равенство; x = 16: 2 + 1/2 = 5/2. Типичная ошибка — умножить t + 1/t ≥ 5/2 на t, не зная его знака: тогда в ответ попадают x из (0; 1), где сумма отрицательна.

Ответ: (1; 2] ∪ [16; +∞)

2

Обоснованно получен ответ (1; 2] ∪ [16; +∞): учтены x > 0, x ≠ 1, выполнена замена t = log₄ x, неравенство (2t − 1)(t − 2)/t ≥ 0 решено методом интервалов с исключением t = 0 и верным возвратом к x.

1

Последовательность шагов верна, но ответ отличается граничной точкой (например, (1; 2) или включено x = 1), либо допущена одна вычислительная ошибка при решении неравенства относительно t.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.