Условие
Решите неравенство x^(x − 2) ≥ x^(4 − x).
Подсказка
Какие значения может принимать основание степени с дробным показателем?
Как меняется знак неравенства a^f ≥ a^g при a>1 и при 0<a<1?
Показать ответ
(0; 1] ∪ [3; +∞)
Пошаговое решение
- Находим ОДЗ
Степень с переменным (в том числе дробным) показателем определена при положительном основании: x>0. Обе части тогда положительны.
- Случай x>1
Функция x^t с основанием x>1 возрастает по t, поэтому знак сохраняется: x − 2 ≥ 4 − x, 2x ≥ 6, x ≥ 3. С условием x>1 получаем x ≥ 3.
- Случай 0<x<1
Основание меньше 1, функция x^t убывает по t, знак меняется: x − 2 ≤ 4 − x, то есть x ≤ 3. С условием 0<x<1 подходит весь промежуток (0; 1).
- Случай x=1
Получаем 1^(−1) ≥ 1^3, то есть 1 ≥ 1 — верно, x=1 — решение.
- Объединяем и проверяем
Объединение случаев: (0; 1] ∪ [3; +∞). Проверка x=2: 2^0=1<2^2=4 — не решение; x=1/2: (1/2)^(−1,5)=2√2 ≥ (1/2)^3,5 — решение. Типичная ошибка — сразу сравнить показатели x − 2 ≥ 4 − x, не разбирая случай основания меньше 1, и получить только x ≥ 3.
Ответ: (0; 1] ∪ [3; +∞)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (0; 1] ∪ [3; +∞): учтено ОДЗ x>0, разобраны случаи x>1, 0<x<1 и x=1 с верным учётом монотонности, решения объединены.
- 1
- Ход решения верный (ОДЗ и разбор случаев основания), но потерян случай x=1, или граница x=3 исключена, либо допущена одна вычислительная ошибка в одном из случаев.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.