ЕГЭ, задание 15: Неравенство

При каких x выражение (x − 2)² положительно? Только ли при x > 2?

Запишите правую часть как логарифм по основанию 3 и перейдите к аргументам.

1. Записываем ОДЗ

   Аргумент (x − 2)² должен быть положителен. Квадрат положителен при всех x, кроме x = 2. ОДЗ: x ≠ 2.

2. Записываем 2 как логарифм

   2 = log₃ 9. Неравенство: log₃((x − 2)²) ≤ log₃ 9. Основание 3 > 1, знак сохраняется: (x − 2)² ≤ 9.

3. Решаем двойное неравенство

   Вместе с ОДЗ: 0 < (x − 2)² ≤ 9. Из (x − 2)² ≤ 9 получаем |x − 2| ≤ 3, то есть −3 ≤ x − 2 ≤ 3, −1 ≤ x ≤ 5. Условие (x − 2)² > 0 выкалывает x = 2.

4. Записываем ответ и проверяем границы

   Ответ: [−1; 2) ∪ (2; 5]. Проверка x = −1: log₃ 9 = 2 ≤ 2 — верно; x = 5: тоже log₃ 9 = 2.

5. Разбираем типичную ошибку

   Если сразу написать log₃((x − 2)²) = 2log₃(x − 2), то появится условие x > 2 и ответ (2; 5] — половина решений потеряна. Верная формула для чётной степени: log₃((x − 2)²) = 2log₃|x − 2|.

Ответ: [−1; 2) ∪ (2; 5]

2

Обоснованно получен ответ [−1; 2) ∪ (2; 5]: ОДЗ x ≠ 2 найдена из (x − 2)² > 0, неравенство сведено к 0 < (x − 2)² ≤ 9, точка 2 исключена, концы −1 и 5 включены.

1

Решение доведено до конца, но ответ отличается только граничной точкой (например, не выколото x = 2 или концы −1, 5 не включены), либо допущена одна вычислительная ошибка в решении (x − 2)² ≤ 9.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.