ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Запишите число 2 как логарифм по основанию x.

Как зависит знак неравенства между аргументами от того, больше основание единицы или меньше?

1. Записываем ОДЗ

   Основание: x > 0 и x ≠ 1. Аргумент: 6 − x > 0, то есть x < 6. ОДЗ: 0 < x < 1 или 1 < x < 6.

2. Записываем правую часть как логарифм

   2 = log_x(x²), поэтому неравенство имеет вид log_x(6 − x) ≤ log_x(x²). Дальше всё зависит от того, возрастает функция y = log_x t (при x > 1) или убывает (при 0 < x < 1).

3. Случай 1 < x < 6

   Основание больше 1, знак сохраняется: 6 − x ≤ x², то есть x² + x − 6 ≥ 0, (x + 3)(x − 2) ≥ 0, x ≤ −3 или x ≥ 2. С условием 1 < x < 6 получаем 2 ≤ x < 6.

4. Случай 0 < x < 1

   Основание меньше 1, знак меняется: 6 − x ≥ x², то есть x² + x − 6 ≤ 0, −3 ≤ x ≤ 2. Весь промежуток 0 < x < 1 лежит в [−3; 2], поэтому подходит целиком.

5. Объединяем случаи и проверяем

   Ответ — объединение: (0; 1) ∪ [2; 6). Проверка x = 2: log₂ 4 = 2 ≤ 2 — верно. Проверка x = 1/2: log_(1/2)(11/2) < 0 ≤ 2 — верно. Типичная ошибка — решить только 6 − x ≤ x², не меняя знак при основании меньше 1, и потерять промежуток (0; 1).

Ответ: (0; 1) ∪ [2; 6)

2

Обоснованно получен ответ (0; 1) ∪ [2; 6): записана ОДЗ (x > 0, x ≠ 1, x < 6), разобраны оба случая основания — больше 1 (знак сохраняется) и от 0 до 1 (знак меняется), результаты объединены.

1

Оба случая разобраны верно по ходу решения, но ответ отличается от верного включением или исключением граничной точки (0, 1, 2 или 6), либо допущена одна вычислительная ошибка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.