Условие
Решите неравенство 2^((x + 1)/(x − 2)) ≥ 1/4.
Подсказка
Запишите 1/4 как степень двойки.
Перенесите −2 влево и приведите к общему знаменателю, не умножая на x − 2.
Показать ответ
(−∞; 1] ∪ (2; +∞)
Пошаговое решение
- Находим ОДЗ
Показатель (x + 1)/(x − 2) определён при x ≠ 2. Других ограничений нет.
- Сравниваем показатели
1/4=2^(−2). Основание 2>1, поэтому (x + 1)/(x − 2) ≥ −2.
- Приводим к общему знаменателю
(x + 1)/(x − 2) + 2 ≥ 0, (x + 1 + 2x − 4)/(x − 2) ≥ 0, (3x − 3)/(x − 2) ≥ 0, то есть 3(x − 1)/(x − 2) ≥ 0. Умножать на x − 2 нельзя: его знак неизвестен.
- Метод интервалов
Нуль числителя x=1 (включаем), нуль знаменателя x=2 (выкалываем). При x>2 дробь положительна, на (1; 2) отрицательна, при x<1 положительна. Получаем x ≤ 1 или x>2.
- Проверяем и записываем ответ
x=1: 2^(2/(−1))=2^(−2)=1/4 — равенство, верно. x=0: 2^(−1/2)≈0,71 ≥ 0,25 — верно. Типичная ошибка — умножить на x − 2 без учёта знака и получить x ≥ 1, потеряв луч (−∞; 1] и включив промежуток (1; 2).
Ответ: (−∞; 1] ∪ (2; +∞)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−∞; 1] ∪ (2; +∞): учтено ОДЗ x ≠ 2, верно сравнены показатели (основание 2>1) и методом интервалов решено неравенство (x − 1)/(x − 2) ≥ 0.
- 1
- Ход решения верный, но точка x=1 исключена или точка x=2 включена в ответ, либо допущена одна вычислительная ошибка при приведении к общему знаменателю.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.