Условие
Решите неравенство (2^x−8)/(log_2(x−2)−1)≥0.
Подсказка
ОДЗ: x>2, причём x≠4. Не умножайте неравенство на знаменатель без учёта его знака.
Числитель меняет знак при x=3, знаменатель — при x=4. Отметьте обе точки на ОДЗ.
Показать ответ
(2; 3] ∪ (4; +∞)
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
ОДЗ: x>2, причём x≠4. Не умножайте неравенство на знаменатель без учёта его знака. Числитель меняет знак при x=3, знаменатель — при x=4. Отметьте обе точки на ОДЗ.
- Выполняем преобразование
Логарифм определён при x>2. Знаменатель обращается в нуль при x−2=2, поэтому x=4 исключаем.
- Выполняем преобразование
Так как 2>1, знак числителя совпадает со знаком x−3. Знаменатель отрицателен на (2; 4) и положителен при x>4.
- Учитываем ограничения
На (2; 3) оба знака отрицательны; в точке 3 дробь равна нулю. На (3; 4) знаки противоположны, а при x>4 оба положительны. Точка 2 не принадлежит ОДЗ, точка 4 — полюс, поэтому их не включаем.
Ответ: (2; 3] ∪ (4; +∞)