Условие
Решите неравенство log_(x−2)((x−5)²)≥0.
Подсказка
Для основания нужны x>2 и x≠3; для аргумента — x≠5.
Разберите основания между нулём и единицей отдельно от оснований больше единицы.
Показать ответ
(3; 4] ∪ [6; +∞)
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
Для основания нужны x>2 и x≠3; для аргумента — x≠5. Разберите основания между нулём и единицей отдельно от оснований больше единицы.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x>2, x≠3, x≠5. Введём y=x−2>0; неравенство примет вид log_y((y−3)²)≥0.
- Выполняем преобразование
При 0<y<1 логарифмическая функция убывает. Нужно 0<(y−3)²≤1, но здесь (y−3)²>4. Эта ветвь решений не даёт.
- Получаем следующий результат
При y>1 основание больше единицы, поэтому (y−3)²≥1. Получаем y≤2 или y≥4. С учётом y>1 это (1; 2] ∪ [4; +∞). Возвращаемся к x=y+2; границу x=3 исключаем из-за основания, равного единице.
Ответ: (3; 4] ∪ [6; +∞)