ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Каким должен быть знак правой части, если корень меньше её?

Не забудьте, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

1. Записываем равносильную систему

   Левая часть неотрицательна, поэтому правая обязана быть положительной. Неравенство √A < B равносильно системе: A ≥ 0, B > 0, A < B². Здесь A = x² − 3x − 10, B = 8 − x.

2. Решаем условие A ≥ 0

   x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2) ≥ 0 при x ≤ −2 или x ≥ 5.

3. Решаем условие B > 0

   8 − x > 0, то есть x < 8.

4. Решаем A < B²

   x² − 3x − 10 < (8 − x)² = 64 − 16x + x². Слагаемые x² сокращаются: −3x − 10 < 64 − 16x, 13x < 74, x < 74/13 ≈ 5,69. Это сильнее условия x < 8.

5. Пересекаем и записываем ответ

   Из x ≤ −2 или x ≥ 5 и x < 74/13 получаем (−∞; −2] ∪ [5; 74/13). Проверка: x = 5: √0 = 0 < 3 — верно; x = 74/13 — равенство, граница не входит; x = 0 не входит в ОДЗ (√(−10) не существует). Типичная ошибка — забыть условие A ≥ 0 и записать ответ (−∞; 74/13).

Ответ: (−∞; −2] ∪ [5; 74/13)

2

Обоснованно получен верный ответ: составлена система x² − 3x − 10 ≥ 0, 8 − x > 0, x² − 3x − 10 < (8 − x)², найдено x < 74/13 и выполнено пересечение с ОДЗ x ≤ −2 или x ≥ 5.

1

Система составлена верно и решение доведено до конца, но ответ отличается включением точки 74/13 или исключением −2 или 5, либо допущена одна вычислительная ошибка при раскрытии (8 − x)².

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.