Условие
Решите неравенство √(x + 7) > x + 1.
Подсказка
Может ли правая часть быть отрицательной? Что тогда можно сказать о неравенстве?
Возводить в квадрат можно только при неотрицательной правой части.
Показать ответ
[−7; 2)
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ и разбиваем на случаи
Корень определён при x + 7 ≥ 0, то есть x ≥ −7. Возводить в квадрат можно только неотрицательные части, а знак x + 1 неизвестен, поэтому рассматриваем два случая: x + 1 < 0 и x + 1 ≥ 0.
- Случай x + 1 < 0
Левая часть √(x + 7) ≥ 0 больше отрицательного числа автоматически. Остаётся система x < −1, x ≥ −7, то есть −7 ≤ x < −1.
- Случай x + 1 ≥ 0
Обе части неотрицательны, возводим в квадрат равносильно: x + 7 > (x + 1)² = x² + 2x + 1, x² + x − 6 < 0, (x + 3)(x − 2) < 0, −3 < x < 2. С условием x ≥ −1 получаем −1 ≤ x < 2. ОДЗ здесь выполняется автоматически: x + 7 > (x + 1)² ≥ 0.
- Объединяем случаи
[−7; −1) ∪ [−1; 2) = [−7; 2). Проверка: x = −7: √0 = 0 > −6 — верно; x = 2: √9 = 3 > 3 — неверно, граница 2 не входит; x = 3: √10 ≈ 3,16 > 4 — неверно.
- Отмечаем типичную ошибку
Если сразу возвести в квадрат, получится −3 < x < 2 — потерян промежуток [−7; −3], где правая часть отрицательна и неравенство верно, хотя после возведения в квадрат оно нарушается.
Ответ: [−7; 2)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен верный ответ: рассмотрены оба случая x + 1 < 0 (с ОДЗ x ≥ −7) и x + 1 ≥ 0 (с равносильным возведением в квадрат), результаты [−7; −1) и [−1; 2) объединены.
- 1
- Оба случая рассмотрены и решение доведено до конца, но ответ отличается от верного включением точки 2 или исключением −7, либо допущена одна вычислительная ошибка при решении квадратного неравенства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.