ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Сначала выпишите, при каких x существует каждый из двух логарифмов по отдельности.

Сумму логарифмов с одним основанием можно заменить логарифмом произведения — но ОДЗ берите из исходной записи.

1. Записываем ОДЗ исходного неравенства

   Каждый логарифм существует только при положительном аргументе: x − 1 > 0 и x + 3 > 0. Вместе это x > 1. ОДЗ пишем именно по исходной записи, до любых преобразований.

2. Объединяем сумму логарифмов

   При x > 1 оба аргумента положительны, поэтому log₃(x − 1) + log₃(x + 3) = log₃((x − 1)(x + 3)). Неравенство принимает вид log₃((x − 1)(x + 3)) ≤ log₃ 12.

3. Переходим к аргументам

   Основание 3 > 1, функция y = log₃ t возрастает, знак неравенства сохраняется: (x − 1)(x + 3) ≤ 12, то есть x² + 2x − 3 ≤ 12, x² + 2x − 15 ≤ 0.

4. Решаем квадратное неравенство

   Корни x² + 2x − 15 = 0: x = −5 и x = 3 (по теореме Виета: сумма −2, произведение −15). Ветви параболы направлены вверх, поэтому −5 ≤ x ≤ 3.

5. Пересекаем с ОДЗ и проверяем границу

   С учётом x > 1 остаётся 1 < x ≤ 3. Проверка x = 3: log₃ 2 + log₃ 6 = log₃ 12 — равенство, точка входит. Типичная ошибка — забыть ОДЗ и ответить [−5; 3]: например, при x = −4 выражение log₃(−5) не существует, хотя произведение (−5)·(−1) = 5 положительно.

Ответ: (1; 3]

2

Обоснованно получен ответ (1; 3]: ОДЗ x > 1 записана по исходным логарифмам, сумма заменена логарифмом произведения, решено x² + 2x − 15 ≤ 0 и результат пересечён с ОДЗ.

1

Решение доведено до конца, но ответ отличается от верного только граничной точкой (например, (1; 3)), либо допущена одна вычислительная ошибка при верной последовательности шагов, включая учёт ОДЗ.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.