ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Запишите левую часть как квадратный трёхчлен относительно 3^x и вспомните теорему Виета.

Какой знак может иметь разность 3^x − x?

1. Видим трёхчлен по 3^x

   9^x=(3^x)². Левая часть — квадратный трёхчлен относительно y=3^x: y² − (x + 3)y + 3x, где сумма корней x + 3, а произведение 3x.

2. Раскладываем на множители

   По теореме Виета корни равны 3 и x, поэтому y² − (x + 3)y + 3x=(y − 3)(y − x). Неравенство: (3^x − 3)(3^x − x) ≤ 0. Проверка: (3^x − 3)(3^x − x)=9^x − x·3^x − 3·3^x + 3x.

3. Доказываем, что 3^x − x>0

   При x ≤ 0: 3^x>0 ≥ x. При 0<x ≤ 1: 3^x>1 ≥ x. При x>1: функция h(x)=3^x − x имеет h′(x)=3^x·ln3 − 1>3·1 − 1>0 (ln3>1), значит возрастает, и h(x)>h(1)=2>0. Итак, 3^x − x>0 при всех x.

4. Делим на положительный множитель

   Деление на 3^x − x>0 сохраняет знак: 3^x − 3 ≤ 0, то есть 3^x ≤ 3^1, откуда x ≤ 1 (основание 3>1).

5. Проверяем и записываем ответ

   x=1: 9 − 4·3 + 3=0 — верно. x=2: 81 − 5·9 + 6=42>0 — не решение. Типичная ошибка — решать «как квадратное» по t, считая x числом, и записать ответ в виде x ≤ t ≤ 3 без возврата к одной переменной, либо не обосновать знак 3^x − x.

Ответ: (−∞; 1]

2

Обоснованно получен ответ (−∞; 1]: получено разложение (3^x − 3)(3^x − x) ≤ 0, доказано, что 3^x − x>0 при всех x, и верно решено 3^x ≤ 3.

1

Разложение (3^x − 3)(3^x − x) и положительность 3^x − x обоснованы, но ответ отличается от верного только граничной точкой ((−∞; 1) вместо (−∞; 1]), либо допущена одна вычислительная ошибка (например, при проверке разложения) при верной последовательности шагов.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.