Условие
Решите неравенство ∛(x³ + 2x² + 4x + 7) ≤ x + 1.
Подсказка
Нужны ли для кубического корня условия неотрицательности, как для квадратного?
Какая функция позволяет возвести обе части в куб, не меняя знака неравенства?
Показать ответ
(−∞; −2] ∪ [3; +∞)
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Кубический корень извлекается из любого действительного числа, поэтому ОДЗ — все x. Никаких условий на знак подкоренного выражения или правой части не требуется.
- Возводим обе части в куб
Функция y = t³ возрастает на всей прямой, поэтому a ≤ b ⇔ a³ ≤ b³ при любых a и b. Получаем x³ + 2x² + 4x + 7 ≤ (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1.
- Упрощаем
x³ сокращается: 2x² + 4x + 7 ≤ 3x² + 3x + 1, то есть x² − x − 6 ≥ 0, (x + 2)(x − 3) ≥ 0.
- Решаем квадратное неравенство
Корни −2 и 3, ветви вверх, решение вне корней: x ≤ −2 или x ≥ 3.
- Проверяем и записываем ответ
x = 3: ∛64 = 4 ≤ 4 — верно; x = −2: ∛(−1) = −1 ≤ −1 — верно; x = 0: ∛7 ≈ 1,91 > 1 — неверно; x = −3: ∛(−14) ≈ −2,41 ≤ −2 — верно. Ответ: (−∞; −2] ∪ [3; +∞). Типичная ошибка — действовать как с квадратным корнем, добавить условие x + 1 ≥ 0 и потерять луч (−∞; −2].
Ответ: (−∞; −2] ∪ [3; +∞)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−∞; −2] ∪ [3; +∞): указано, что кубический корень определён при всех x и возведение в куб равносильно (y = t³ возрастает), верно раскрыт куб (x + 1)³ и решено x² − x − 6 ≥ 0.
- 1
- Последовательность шагов верна, но ответ отличается от верного только граничными точками −2 или 3, либо получен неверный ответ из-за одной вычислительной ошибки (например, при раскрытии (x + 1)³).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.