Условие
Решите неравенство x^(log₂ x) ≤ 8x².
Подсказка
Обе части положительны — что даст логарифм по основанию 2 от каждой из них?
Чему равен логарифм степени, у которой и основание, и показатель зависят от x?
Показать ответ
[0,5; 8]
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Выражение x^(log₂ x) определено при x > 0 (нужен log₂ x). При x > 0 обе части неравенства положительны.
- Логарифмируем обе части
Функция y = log₂ t возрастает, поэтому для положительных чисел неравенство между ними равносильно неравенству между их логарифмами: log₂(x^(log₂ x)) ≤ log₂(8x²).
- Применяем свойства логарифмов
Слева log₂ x · log₂ x = (log₂ x)². Справа log₂ 8 + log₂ x² = 3 + 2log₂ x (x > 0, модуль не нужен). Пусть t = log₂ x: t² ≤ 3 + 2t.
- Решаем неравенство для t
t² − 2t − 3 ≤ 0, (t − 3)(t + 1) ≤ 0, −1 ≤ t ≤ 3. Значит, −1 ≤ log₂ x ≤ 3, то есть 1/2 ≤ x ≤ 8.
- Проверяем границы
x = 8: 8³ = 512 и 8·64 = 512 — равенство. x = 1/2: (1/2)^(−1) = 2 и 8·(1/4) = 2 — равенство. Обе точки входят. Типичная ошибка — записать log₂(x²) как (log₂ x)² и получить другое квадратное неравенство.
Ответ: [0,5; 8]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [0,5; 8]: указано x > 0, обе части прологарифмированы по основанию 2 с обоснованием (возрастание, положительность), решено t² − 2t − 3 ≤ 0 и выполнен возврат к x.
- 1
- Ход решения верный и доведён до конца, но ответ отличается только граничными точками 0,5 и 8 (строгий знак вместо нестрогого), либо допущена одна вычислительная ошибка при t = log₂ x.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.