Условие
Решите неравенство log₂(x²−4)≤log₄((x+2)²).
Подсказка
x²−4>0 и (x+2)²>0. Получаем x<−2 или x>2.
log₄((x+2)²)=(1/2)log₂((x+2)²)=log₂|x+2|. Модуль здесь обязателен.
Показать ответ
(2;3]
Пошаговое решение
- Определяем область допустимых значений
x²−4>0 и (x+2)²>0. Получаем x<−2 или x>2.
- Приводим основание к 2
log₄((x+2)²)=(1/2)log₂((x+2)²)=log₂|x+2|. Модуль здесь обязателен.
- Сравниваем аргументы
Основание 2>1: x²−4≤|x+2|. На ОДЗ левая часть равна |x−2|·|x+2|.
- Сокращаем положительный множитель
На ОДЗ |x+2|>0. Поэтому |x−2|≤1, то есть 1≤x≤3.
- Пересекаем с ОДЗ
Ветвь x<−2 не пересекает полученный отрезок. Из ветви x>2 остаётся (2;3]. При x=2 первый логарифм не существует, при x=3 равенство выполнено.
Ответ: (2;3]