Условие
Решите неравенство ((x − 2)²·(x + 3))/(x² − 4) ≤ 0.
Подсказка
Разложите знаменатель на множители и посмотрите, что можно сократить.
Сокращение не отменяет ограничений, записанных для исходной дроби.
Показать ответ
(−∞; −3] ∪ (−2; 2)
Пошаговое решение
- Записываем ограничения
x² − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 2 и x ≠ −2. Это нужно сделать до любых сокращений.
- Сокращаем дробь
x² − 4 = (x − 2)(x + 2). При x ≠ 2 можно сократить на x − 2: ((x − 2)²(x + 3))/((x − 2)(x + 2)) = (x − 2)(x + 3)/(x + 2). Решаем (x − 2)(x + 3)/(x + 2) ≤ 0 при условии x ≠ 2.
- Метод интервалов
Точки −3 < −2 < 2. При x = 3: 1·6/5 > 0, на (2; +∞) «+»; на (−2; 2) «−»; на (−3; −2) «+»; на (−∞; −3) «−». Контроль при x = 0: (−2)·3/2 = −3 < 0 — верно.
- Отбираем границы
x = −3 — нуль числителя, неравенство нестрогое, входит. x = −2 выколота (знаменатель). x = 2 у сокращённой дроби была бы нулём, но в исходном неравенстве знаменатель при x = 2 равен нулю — точка выколота.
- Записываем ответ
(−∞; −3] ∪ (−2; 2). Типичная ошибка — после сокращения забыть ограничение x ≠ 2 и записать (−2; 2].
Ответ: (−∞; −3] ∪ (−2; 2)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен верный ответ: записаны ограничения x ≠ ±2, дробь сокращена на x − 2 с сохранением условия x ≠ 2, метод интервалов для (x − 2)(x + 3)/(x + 2) выполнен верно, точка 2 исключена.
- 1
- Сокращение и метод интервалов выполнены, решение доведено до конца, но в ответ включена точка x = 2 (или x = −2, или исключена −3), либо допущена одна вычислительная ошибка при расстановке знаков.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.