Условие
Решите неравенство 3^(x + 2) − 3^x ≥ 2^(x + 4) + 2^(x + 1).
Подсказка
Как записать 3^(x + 2) и 2^(x + 4) через 3^x и 2^x?
После вынесения множителей разделите обе части на 2^x.
Показать ответ
[2; +∞)
Пошаговое решение
- Выносим общий множитель слева
3^(x + 2)=9·3^x, поэтому 3^(x + 2) − 3^x=3^x·(9 − 1)=8·3^x.
- Выносим общий множитель справа
2^(x + 4)=16·2^x, 2^(x + 1)=2·2^x, поэтому правая часть равна 2^x·(16 + 2)=18·2^x. Неравенство: 8·3^x ≥ 18·2^x.
- Делим на положительные множители
Делим обе части на 8·2^x>0 (знак сохраняется): (3/2)^x ≥ 18/8=9/4=(3/2)².
- Используем монотонность
Основание 3/2>1, функция (3/2)^x возрастает, поэтому x ≥ 2. ОДЗ — все действительные x.
- Проверяем и записываем ответ
Проверка x=2: 81 − 9=72 и 64 + 8=72 — равенство, точка входит. x=0: 9 − 1=8<16 + 2=18 — не решение, согласуется с ответом. Типичная ошибка — сократить 3^x и 2^x как «одинаковые» или получить (2/3)^x и забыть перевернуть знак.
Ответ: [2; +∞)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [2; +∞): верно вынесены множители 8·3^x и 18·2^x, выполнено деление на положительное выражение и использовано возрастание (3/2)^x.
- 1
- Ход решения верный (вынесение множителей, деление, монотонность), но допущена одна вычислительная ошибка в коэффициентах 8 или 18, либо точка x=2 не включена в ответ.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.