Условие
Решите неравенство log₀,₅(x + 3) > log₀,₂₅(x + 15).
Подсказка
Как связаны основания 0,5 и 0,25?
Функция с основанием меньше 1 убывает — что происходит со знаком при переходе к аргументам?
Показать ответ
(−3; 1)
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
x + 3 > 0 и x + 15 > 0. Второе следует из первого, ОДЗ: x > −3.
- Приводим к основанию 0,5
0,25 = 0,5², поэтому log₀,₂₅(x + 15) = (1/2)·log₀,₅(x + 15). Умножим обе части на 2 (знак не меняется): 2·log₀,₅(x + 3) > log₀,₅(x + 15).
- Вносим коэффициент в аргумент
Так как x + 3 > 0, 2·log₀,₅(x + 3) = log₀,₅((x + 3)²). Получаем log₀,₅((x + 3)²) > log₀,₅(x + 15).
- Переходим к аргументам со сменой знака
Основание 0,5 < 1, функция убывает: (x + 3)² < x + 15, x² + 6x + 9 < x + 15, x² + 5x − 6 < 0, (x + 6)(x − 1) < 0, −6 < x < 1.
- Пересекаем с ОДЗ
С учётом x > −3 получаем −3 < x < 1. Точка x = 1 не входит: при ней log₀,₅ 4 = −2 и log₀,₂₅ 16 = −2, а неравенство строгое. Типичная ошибка — не поменять знак и получить x < −6 или x > 1.
Ответ: (−3; 1)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−3; 1): записана ОДЗ x > −3, логарифмы приведены к основанию 0,5, при переходе к аргументам знак изменён, решено x² + 5x − 6 < 0 и выполнено пересечение с ОДЗ.
- 1
- Решение проведено верно, но ответ отличается от верного включением граничной точки −3 или 1, либо допущена одна вычислительная ошибка при верных переходе к основанию 0,5 и смене знака.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.