Условие
Решите неравенство √(log₂(x−2))≤log₄(x−2).
Подсказка
Подкоренное выражение неотрицательно: log₂(x−2)≥0. Это равносильно x−2≥1, то есть x≥3.
u=√(log₂(x−2))≥0. По переходу к основанию 2 правая часть равна u²/2.
Показать ответ
{3}∪[18;+∞)
Пошаговое решение
- Находим область определения
Подкоренное выражение неотрицательно: log₂(x−2)≥0. Это равносильно x−2≥1, то есть x≥3.
- Вводим неотрицательную переменную
u=√(log₂(x−2))≥0. По переходу к основанию 2 правая часть равна u²/2.
- Решаем неравенство для u
u≤u²/2 ⇔ u(u−2)≥0. С учётом u≥0 получаем u=0 или u≥2. Нельзя делить на u и терять нулевое решение.
- Возвращаемся к x
u=0 даёт x=3. При u≥2 имеем log₂(x−2)≥4, значит x≥18. Обе границы включены.
Ответ: {3}∪[18;+∞)