Условие
Решите неравенство x − 5√(x + 1) + 5 ≥ 0.
Подсказка
Обозначьте √(x + 1) новой буквой и выразите через неё x.
Не забудьте, что новая переменная неотрицательна, а x не меньше −1.
Показать ответ
[−1; 0] ∪ [15; +∞)
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Корень определён при x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ −1.
- Вводим новую переменную
Пусть t = √(x + 1), t ≥ 0. Тогда x + 1 = t², x = t² − 1, и неравенство принимает вид t² − 1 − 5t + 5 ≥ 0, то есть t² − 5t + 4 ≥ 0.
- Решаем неравенство относительно t
(t − 1)(t − 4) ≥ 0: t ≤ 1 или t ≥ 4. С условием t ≥ 0: 0 ≤ t ≤ 1 или t ≥ 4.
- Возвращаемся к x
0 ≤ √(x + 1) ≤ 1: обе части неотрицательны, возведение в квадрат равносильно: 0 ≤ x + 1 ≤ 1, −1 ≤ x ≤ 0. √(x + 1) ≥ 4: x + 1 ≥ 16, x ≥ 15.
- Проверяем и записываем ответ
x = −1: −1 − 0 + 5 = 4 ≥ 0 — верно; x = 0: 0 − 5 + 5 = 0 — верно; x = 15: 15 − 20 + 5 = 0 — верно; x = 3: 3 − 10 + 5 = −2 — неверно. Ответ: [−1; 0] ∪ [15; +∞). Типичная ошибка — из √(x + 1) ≤ 1 записать только x ≤ 0, забыв ОДЗ, и получить (−∞; 0] ∪ [15; +∞).
Ответ: [−1; 0] ∪ [15; +∞)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [−1; 0] ∪ [15; +∞): указана ОДЗ x ≥ −1, выполнена замена t = √(x + 1) ≥ 0 с выражением x = t² − 1, решено t² − 5t + 4 ≥ 0 с учётом t ≥ 0 и верно выполнен возврат к x.
- 1
- Последовательность шагов верна, но ответ отличается от верного только граничными точками (например, исключены −1, 0 или 15), либо получен неверный ответ из-за одной вычислительной ошибки (например, при подстановке x = t² − 1).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.