Условие
Решите неравенство log₂(4^x + 12) ≥ x + log₂(2^(x+1) − 1).
Подсказка
Как записать слагаемое x в виде логарифма по основанию 2?
После перехода к аргументам получится квадратное неравенство относительно 2^x.
Показать ответ
(−1; 2]
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
4^x + 12 > 0 при любом x. Второй логарифм требует 2^(x+1) − 1 > 0, то есть 2^(x+1) > 2⁰, x + 1 > 0, x > −1.
- Собираем правую часть в один логарифм
x = log₂ 2^x, поэтому x + log₂(2^(x+1) − 1) = log₂(2^x·(2^(x+1) − 1)) = log₂(2·4^x − 2^x). Неравенство: log₂(4^x + 12) ≥ log₂(2·4^x − 2^x).
- Переходим к аргументам
Основание 2 > 1, знак сохраняется: 4^x + 12 ≥ 2·4^x − 2^x, то есть 4^x − 2^x − 12 ≤ 0. Правый аргумент на ОДЗ положителен (это произведение положительных 2^x и 2^(x+1) − 1).
- Делаем замену t = 2^x > 0
t² − t − 12 ≤ 0, (t − 4)(t + 3) ≤ 0, −3 ≤ t ≤ 4. Так как t > 0, остаётся 0 < 2^x ≤ 4, то есть x ≤ 2.
- Учитываем ОДЗ и проверяем
С условием x > −1: −1 < x ≤ 2. Проверка x = 2: слева log₂ 28, справа 2 + log₂ 7 = log₂ 28 — равенство. Типичная ошибка — забыть ОДЗ второго логарифма и ответить (−∞; 2].
Ответ: (−1; 2]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−1; 2]: записана ОДЗ x > −1, правая часть собрана в log₂(2^x(2^(x+1) − 1)), решено t² − t − 12 ≤ 0 при t = 2^x > 0 и выполнено пересечение с ОДЗ.
- 1
- Последовательность шагов верна, но ответ отличается от верного включением/исключением точки −1 или 2, либо получен неверный ответ из-за одной вычислительной ошибки (например, в корнях t² − t − 12 = 0).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.