Условие
Решите неравенство |(x+2)/(x)|≤2.
Подсказка
ОДЗ: x≠0. Обе части неотрицательны, поэтому можно равносильно возвести неравенство в квадрат.
После переноса разложите разность квадратов или найдите корни полученного квадратного трёхчлена.
Показать ответ
(−∞; -2/3] ∪ [2; +∞)
Пошаговое решение
- Область допустимых значений
Каждый знаменатель исходного выражения должен быть отличен от нуля. Эти исключения сохраняются после сокращения дроби и умножения уравнения на знаменатель: запрещённую точку нельзя возвращать в ответ.
- Намечаем ход решения
ОДЗ: x≠0. Обе части неотрицательны, поэтому можно равносильно возвести неравенство в квадрат. После переноса разложите разность квадратов или найдите корни полученного квадратного трёхчлена.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x≠0.
- Выполняем преобразование
Возводим в квадрат и умножаем на положительное (x)²: (x+2)²≤4(x)².
- Вводим обозначения
Положим y=x+3; тогда (y−1)²−4(y−3)²≤0, то есть 3y²−22y+35≥0.
- Выполняем преобразование
Корни равны 7/3 и 5, ветви направлены вверх, поэтому y≤7/3 или y≥5.
- Выполняем преобразование
Точка y=3 в решение не попадает автоматически.
- Получаем следующий результат
После возврата к x получаем ответ.
Ответ: (−∞; -2/3] ∪ [2; +∞)