Условие
Решите неравенство (0,2)^(x² − 3x) ≥ 25^(x − 3).
Подсказка
Запишите 0,2 и 25 как степени числа 5.
Возрастает или убывает функция 5^t?
Показать ответ
[−2; 3]
Пошаговое решение
- Приводим к одному основанию
0,2=1/5=5^(−1), 25=5². Значит, (0,2)^(x² − 3x)=5^(−(x² − 3x))=5^(3x − x²) и 25^(x − 3)=5^(2x − 6). Неравенство принимает вид 5^(3x − x²) ≥ 5^(2x − 6).
- Сравниваем показатели
Основание 5>1, функция 5^t возрастает, поэтому знак сохраняется: 3x − x² ≥ 2x − 6.
- Решаем квадратное неравенство
Переносим всё вправо: x² − x − 6 ≤ 0. Корни: x=−2 и x=3 (по Виета: −2+3=1, (−2)·3=−6). Ветви параболы вверх, значит, решение — между корнями: −2 ≤ x ≤ 3.
- Проверяем границы
x=3: (0,2)^0=1 и 25^0=1, 1 ≥ 1 — верно. x=−2: (0,2)^(10)=5^(−10) и 25^(−5)=5^(−10) — равенство, верно. ОДЗ — все x, поэтому ответ — отрезок.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Решение — отрезок [−2; 3]. Частая ошибка — сравнивать показатели x² − 3x и x − 3 напрямую, забыв, что основания разные (0,2 и 25), или перевернуть знак дважды, получив x ≤ −2 или x ≥ 3.
Ответ: [−2; 3]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [−2; 3]: степени приведены к основанию 5 с верным знаком показателя (0,2=5^(−1)), использовано возрастание 5^t, верно решено неравенство x² − x − 6 ≤ 0.
- 1
- Ход решения верный (общее основание и сравнение показателей), но допущена одна вычислительная ошибка (например, в корнях x² − x − 6) либо граничные точки −2 и 3 исключены из ответа.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.