Условие
Решите неравенство 1/8 ≤ 2^(x² − 4x) ≤ 32.
Подсказка
Запишите 1/8 и 32 как степени двойки.
Двойное неравенство — это система; решения частей нужно пересечь.
Показать ответ
[−1; 1] ∪ [3; 5]
Пошаговое решение
- Записываем границы как степени двойки
1/8=2^(−3), 32=2^5. Неравенство: 2^(−3) ≤ 2^(x² − 4x) ≤ 2^5.
- Переходим к показателям
Основание 2>1, функция 2^t возрастает, поэтому знаки сохраняются: −3 ≤ x² − 4x ≤ 5. Двойное неравенство равносильно системе двух неравенств.
- Решаем левое неравенство
x² − 4x ≥ −3 ⇔ x² − 4x + 3 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x − 3) ≥ 0. Решение — вне корней: x ≤ 1 или x ≥ 3.
- Решаем правое неравенство
x² − 4x ≤ 5 ⇔ x² − 4x − 5 ≤ 0 ⇔ (x + 1)(x − 5) ≤ 0. Решение — между корнями: −1 ≤ x ≤ 5.
- Пересекаем и проверяем
Общая часть: [−1; 1] и [3; 5]. Проверка x=2 (между отрезками): 2^(4 − 8)=1/16<1/8 — не решение; x=5: 2^5=32 — граница входит. Типичная ошибка — объединить решения двух неравенств вместо пересечения и получить всю прямую.
Ответ: [−1; 1] ∪ [3; 5]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [−1; 1] ∪ [3; 5]: использовано возрастание 2^t, решены оба квадратных неравенства x² − 4x + 3 ≥ 0 и x² − 4x − 5 ≤ 0 и найдено пересечение их решений.
- 1
- Ход решения верный (переход к показателям, система, пересечение), но допущена одна вычислительная ошибка в корнях одного из трёхчленов или граничные точки −1, 1, 3, 5 исключены.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.