Условие
Кредит 1810 тыс. рублей выдан на три года под 10% годовых. Платежи в конце лет равны X, X+50 и X+100 тыс. рублей; после третьего платежа долг равен нулю. Найдите X.
Подсказка
Для кредита 1810 и ставки 10% последовательно умножайте остаток на q=1,1.
При шагах 50 раскройте рекурсию: коэффициенты при X и прибавке равны q²+q+1 и q+2.
Показать ответ
681
Пошаговое решение
- Разделяем долг и проценты
Проценты начисляются на остаток долга перед очередным платежом, а не каждый раз на первоначальную сумму. В платеже различаем проценты и погашение основного долга. Сумма погашений основного долга равна первоначальному кредиту.
- Намечаем ход решения
Для кредита 1810 и ставки 10% последовательно умножайте остаток на q=1,1. При шагах 50 раскройте рекурсию: коэффициенты при X и прибавке равны q²+q+1 и q+2.
- Вводим обозначения
Обозначим коэффициент ежегодного роста через q=1,1. После первого платежа долг равен D₁=1810q−X. После второго платежа D₂=(1810q−X)q−(X+50).
- Выполняем преобразование
Перед третьим платежом долг ещё раз умножается на q, а затем вносится X+100. Условие полного погашения даёт ((1810q−X)q−X−50)q−X−100=0.
- Получаем следующий результат
Раскрываем скобки и собираем слагаемые: 1810q³−X(q²+q+1)−50(q+2)=0. Поэтому X=(1810·1,331−50·3,1)/3,31=681. Проверка обратной подстановкой в три последовательных остатка даёт D₃=0, следовательно, найденный платёж удовлетворяет всем условиям.
Ответ: 681