Условие
Фирма продаёт x десятков комплектов в месяц. Цена одного комплекта равна 120−2x тыс. рублей, переменные затраты — 20 тыс. рублей на комплект, а постоянные затраты — 150 тыс. рублей в месяц. Сколько комплектов должна продавать фирма ежемесячно, чтобы прибыль была максимальной?
Подсказка
Если x измеряется десятками, фактическое число проданных комплектов равно 10x. Поэтому выручка и переменные затраты содержат множитель 10x.
Запишите P(x)=10x((120−2x)−20)−150, найдите вершину параболы и переведите x из десятков в комплекты.
Показать ответ
250
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Если x измеряется десятками, фактическое число проданных комплектов равно 10x. Поэтому выручка и переменные затраты содержат множитель 10x. Запишите P(x)=10x((120−2x)−20)−150, найдите вершину параболы и переведите x из десятков в комплекты.
- Выполняем преобразование
Продажа x десятков означает продажу 10x комплектов.
- Выполняем преобразование
Поэтому месячная выручка равна 10x(120−2x), переменные затраты — 10x·20, а прибыль P(x)=10x((120−2x)−20)−150=−20x²+1000x−150.
- Выполняем преобразование
Это парабола с ветвями вниз, поэтому единственный максимум достигается в вершине: x=−b/(2a)=1000/(2·20)=25.
- Выполняем преобразование
При этом P(25)=12350 тыс. рублей.
- Выполняем преобразование
Но x — число десятков, значит фирме нужно продавать 10·25=250 комплектов.
Ответ: 250