Условие
Мастерская располагает станком, который можно использовать 60 часов в неделю. За час станок изготавливает либо 2 изделия типа А, либо 1 изделие типа Б; время станка можно делить между изделиями произвольно. Чтобы продать за неделю a изделий типа А, цену каждого приходится назначать равной 60 − 0,5a тыс. рублей, а чтобы продать b изделий типа Б, — равной 90 − b тыс. рублей. Все изготовленные изделия продаются. Какую наибольшую выручку за неделю может получить мастерская? Ответ дайте в тысячах рублей.
Подсказка
Выразите числа изделий через часы работы станка и запишите выручку от каждого изделия.
Убедитесь, что выгодно загрузить станок полностью, и получите квадратичную функцию одной переменной.
Показать ответ
3675
Пошаговое решение
- Составляем модель
Пусть t часов станок делает изделия А, s часов — изделия Б, t + s ≤ 60. Тогда a = 2t, b = s, выручка R = 2t(60 − t) + s(90 − s) = 120t − 2t² + 90s − s² тыс. рублей.
- Показываем, что всё время станка используется
Выручка от А растёт, пока t < 30 (вершина 120t − 2t² при t = 30), от Б — пока s < 45. Если t + s < 60, то t < 30 или s < 45 (иначе t + s ≥ 75), и добавочный час увеличит выручку. Значит, t + s = 60, s = 60 − t.
- Получаем функцию одной переменной
R(t) = 120t − 2t² + 90(60 − t) − (60 − t)² = 120t − 2t² + 5400 − 90t − 3600 + 120t − t² = −3t² + 150t + 1800, 0 ≤ t ≤ 60.
- Находим наибольшее значение
Вершина t = 150/6 = 25 ∈ [0; 60]. R(25) = −1875 + 3750 + 1800 = 3675. Проверка: a = 50 изделий А по 60 − 25 = 35 тыс. — 1750; b = 35 изделий Б по 90 − 35 = 55 тыс. — 1925; сумма 3675.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наибольшая выручка 3675 тыс. рублей. Типичная ошибка — отдать всё время более «дорогому» изделию Б (60 изделий по 30 тыс. — только 1800) или забыть, что за час делается 2 изделия А, и записать выручку от А как t(60 − 0,5t).
Ответ: 3675
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 3675: составлена выручка 2t(60 − t) + s(90 − s), обосновано t + s = 60, получена функция −3t² + 150t + 1800 и найдено её наибольшее значение при t = 25.
- 1
- Верно построена модель (выручка от двух изделий с падающими ценами при ограничении 60 часов), но не обосновано полное использование времени или допущена одна вычислительная ошибка при раскрытии скобок.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.