Условие
Два цеха должны за день изготовить в сумме 20 изделий. Если первый цех изготовит x изделий, его затраты составят x²+6x+40 тысяч рублей. Если второй изготовит y изделий, его затраты составят 2y²+4y+30 тысяч рублей. Эти формулы действуют и при нулевом выпуске: постоянные затраты сохраняются. Числа x и y — неотрицательные целые. Как распределить выпуск между цехами, чтобы общие затраты были наименьшими? Найдите также эти затраты.
Подсказка
Подставьте y=20−x в общую стоимость.
Выделение полного квадрата доказывает минимум на всём допустимом множестве.
Показать ответ
Первый цех — 13 изделий, второй — 7; 443 тысячи рублей.
Пошаговое решение
- Сводим к одной переменной
Из условия x+y=20 выражаем y=20−x. Допустимы целые x от 0 до 20 включительно.
- Записываем общие затраты
C(x)=x²+6x+40+2(20−x)²+4(20−x)+30. Постоянные расходы обоих цехов сохраняем независимо от распределения.
- Приводим подобные
2(20−x)²=800−80x+2x², а 4(20−x)=80−4x. Поэтому C(x)=3x²−78x+950.
- Выделяем полный квадрат
C(x)=3(x−13)²+443. Квадрат неотрицателен, поэтому для любого допустимого x затраты не меньше 443. Равенство возможно только при x=13.
- Проверяем допустимость и результат
Число 13 целое и лежит между 0 и 20. Второму цеху остаётся y=7. Затраты первого: 169+78+40=287; второго: 98+28+30=156. Сумма 287+156=443 тысячи рублей. Нижняя оценка достигнута, значит это глобальный минимум.
Ответ: Первый цех — 13 изделий, второй — 7; 443 тысячи рублей.
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Верно составлена стоимость, доказан минимум с учётом целочисленности и приведены распределение 13/7 и сумма 443.
- 1
- Получена верная функция общих затрат и применён обоснованный метод оптимизации; допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.